Pauli-principe

In zijn eenvoudigste formulering stelt het Pauli-principe dat in een atoom geen twee elektronen exact dezelfde toestand mogen innemen. Onder de toestand van een elektron wordt de fysisch meetbare toestand verstaan, die een elektron inneemt met betrekking tot energie, impulsmoment, oriëntatie van het impulsmoment en oriëntatie van de elektronenspin. Al deze fysische grootheden worden voor kwantumdeeltjes, dus ook voor elektronen, vervangen door zogenaamde kwantumgetallen. Hierbij staat n voor de energie, l voor het impulsmoment, m voor de oriëntatie van het impulsmoment, s voor de spin en sm voor de oriëntatie van de elektronenspin. Een reeks van kwantumgetallen bestaat dus uit de set (n, l, m, s, sm).

Het Pauli-principe stelt dat twee elektronen in een waterstofatoom niet in alle kwantumgetallen overeen mogen komen. Algemeen mogen volgens het Pauli-principe alle zogenaamde "fermionen", waartoe ook de elektronen behoren, niet in al hun eigenschappen overeenkomen.

Het Pauli-principe werd ontdekt door de natuurkundige Wolfgang Ernst Pauli, die voor deze door hemzelf als "uitsluitingsprincipe" aangeduide ontdekking in 1945 de Nobelprijs ontving.

Gevolgen van het Pauli-principe

Het Pauli-principe heeft vele gevolgen. Het wordt bijvoorbeeld gebruikt om de elektronenconfiguraties van verschillende elementen te verklaren. Zelfs de stabiliteit van neutronensterren wordt verklaard met het Pauli-principe. Neutronensterren zijn namelijk zo zwaar en compact dat er, afgezien van de afstoting van neutronen, die vanwege het Pauli-verbod niet dezelfde plaats mogen innemen, geen bekende kracht is die de zwaartekrachtdruk in een neutronenster kan weerstaan.

Zonder de enorme afstotende kracht van de neutronen in een neutronenster, die door het Pauli-verbod ontstaat, zou een neutronenster onder zijn eigen gewicht tot een punt ineenstorten. Dit gebeurt ook vanaf een bepaalde grensmassa en er blijft een zwart gat over. Het Pauli-principe is dus geldig binnen het kader van gewone krachten, maar niet fundamenteel onoverkomelijk.

Ook de uitwisselingswerking van de elektronen in een vaste stof, die verantwoordelijk is voor de verschijning van de ferromagnetisme, kan alleen met het Pauli-principe worden begrepen.

Uitwisselingsinteractie

In de hedendaagse formulering luidt het Pauli-principe: "De totale golffunctie van een systeem van N fermionen is totaal antisymmetrisch met betrekking tot de uitwisseling van twee deeltjes". Dit klinkt aanvankelijk zeer abstract, maar kan aan de hand van het voorbeeld van de uitwisselingsinteractie begrijpelijk worden gemaakt.

Elektronen zijn zogenaamde fermionen. Alle deeltjes met een halftallige spin zijn fermionen. De elektronspin heeft het kwantumgetal ½. Elementaire deeltjes kunnen in het algemeen wiskundig worden beschreven met een zogenaamde golffunctie. Men kan elektronen ook beschrijven met een product van golffuncties, waarbij elke factor van de totale golffunctie voor een bepaalde eigenschap staat. Zo beschrijft de plaatsgolffunctie de lokatie, de spingolffunctie de spin, enzovoort...

De elektronen kunnen volgens het Pauli-principe niet op dezelfde plaats zijn als ze zich in geen enkel ander kwantumgetal (zoals bijvoorbeeld de richting van de spin) onderscheiden. Dit volgt uit de formulering van de "totale antisymmetrie met betrekking tot de uitwisseling van twee deeltjes". Preciezer moet het Pauli-principe zo worden begrepen dat de golffuncties van naburige elektronen in een vaste stof antisymmetrisch ten opzichte van elkaar moeten zijn. Dit betekent dat de elektronen zich precies in een of drie eigenschappen moeten onderscheiden ("antisymmetrisch" moeten zijn), als alle andere eigenschappen gelijk, dus "symmetrisch", zijn. De elektronen mogen zich ook niet precies in twee eigenschappen onderscheiden. Het product van twee antisymmetrische golffuncties is anders weer symmetrisch. In het algemeen is het product van een even aantal antisymmetrische golffuncties altijd symmetrisch en het product van een oneven aantal antisymmetrische golffuncties is altijd antisymmetrisch. De symmetrische golffuncties wijzigen de totale golffunctie niet.

Er moet dus een oneven aantal functies antisymmetrisch zijn, als alle andere functies, die de eigenschappen van de deeltjes beschrijven, symmetrisch zijn. Bij de naburige elektronen in een vaste stof gaat het om elektronen met een antisymmetrische plaatsgolffunctie. Alle andere functies zijn symmetrisch. Men kan zich dit zo voorstellen dat de elektronen zich onderscheiden wat betreft hun plaats, maar verder niet in een andere grootheid. In de taal van symmetrie van golffuncties zou men zeggen: De plaatsgolffunctie van de elektronen is antisymmetrisch, alle golffuncties behalve de spingolffunctie zijn symmetrisch, dus moet de laatste overgebleven golffunctie, namelijk de golffunctie van de spinrichting, ook symmetrisch zijn, zodat de totale golffunctie antisymmetrisch is, zoals het Pauli-principe vereist.

De elektronen mogen zich dus niet onderscheiden in de spin.

Om dezelfde reden, namelijk waarom de elektronen binnen een atoom niet op dezelfde plaats ook dezelfde spinoriëntatie kunnen hebben, mogen de elektronen van naburige atomen in een ferromagnetische vaste stof geen verschillende oriëntatie van de elektronspin hebben, omdat ze anders ten opzichte van alle eigenschappen symmetrisch zouden zijn.

Daarom stabiliseren in een ferromagneet de elektronspins zich onderling vanwege het Pauli-principe. Deze interactie wordt uitwisselingsinteractie genoemd, zoals de formulering van het Pauli-verbod van een noodzakelijke antisymmetrie bij de "uitwisseling" of het "uitruilen" van de deeltjes spreekt.